Zmiany na egzaminie maturalnym z matematyki 2021 (poziom rozszerzony i podstawowy)

Poniższa tabela przedstawia porównanie w wymaganiach maturalnych między latami 2020 a 2021.

Informacje o darmowych webinarach i materiałach pomocnych w nauczaniu znajdziesz na moich social mediach.

 

 

Egzamin maturalny z matematyki 2021:

(źródło: https://www.gov.pl/web/edukacja-i-nauka/wymagania-na-egzaminach-osmoklasisty-i-maturalnym)

 

Matematyka jako przedmiot obowiązkowy

  • Przeprowadzany na podstawie wymagań egzaminacyjnych, zawierających ograniczony zakres wymagań podstawy programowej (np. ograniczone wymagania dotyczące funkcji i graniastosłupów, całkowita redukcja wymagań dotyczących brył obrotowych i wymagań z IV etapu edukacyjnego dotyczących ostrosłupów).

  • Czas trwania: 170 minut.

  • Za rozwiązanie zadań można uzyskać maksymalnie 45 punktów (5 pkt mniej niż w latach ubiegłych), w tym: 28 pkt – zadania zamknięte; 17 pkt – zadania otwarte.

  • Liczba zadań otwartych: 7 (w latach 2015–2020: 9).

Na czerwono (w prawej kolumnie) zaznaczyłem zagadnienia, które obowiązują na maturze podstawowej w latach 2015-2022, ale w 2021 zostały usunięte ze względu na pandemię COVID-19.

  •  

 

 

Matura z matematyki 2020

POZIOM PODSTAWOWY

Matura z matematyki 2021

POZIOM PODSTAWOWY

  1. Liczby rzeczywiste. Uczeń:

  1. przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 

  2. oblicza wartości wyrażeń arytmetycznych (wymiernych); 

  3. posługuje się w obliczeniach pierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje prawa działań na pierwiastkach;

  4. oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych i stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych; 

  5. wykorzystuje podstawowe własności potęg (również w zagadnieniach związanych z innymi dziedzinami wiedzy, np. fizyką, chemią, informatyką); 

  6. wykorzystuje definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym; 

  7. oblicza błąd bezwzględny i błąd względny przybliżenia; 

  8. posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej; 

  9. wykonuje obliczenia procentowe, oblicza podatki, zysk z lokat (również złożonych na procent składany i na okres krótszy niż rok).

  1. Liczby rzeczywiste. Uczeń:

  1. przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 

  2. oblicza wartości wyrażeń arytmetycznych (wymiernych); 

  3. posługuje się w obliczeniach pierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje prawa działań na pierwiastkach; 

  4. oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych i stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych; 

  5. wykorzystuje podstawowe własności potęg; 

  6. wykorzystuje definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym; 

  7. posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej; 

  8. wykonuje obliczenia procentowe, oblicza podatki, zysk z lokat (również złożonych na procent składany i na okres krótszy niż rok).

II. Wyrażenia algebraiczne. Uczeń:

  1. używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b)^2 oraz a^2-b^2 .

II. Wyrażenia algebraiczne. Uczeń:

  1. używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b)^2 oraz a^2-b^2

III. Równania i nierówności. Uczeń 

  1. sprawdza, czy dana liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania lub nierówności; 

  2. wykorzystuje interpretację geometryczną układu równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi; 

  3. rozwiązuje nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą;

  4. rozwiązuje równania kwadratowe z jedną niewiadomą; 

  5. rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą; 

  6. korzysta z definicji pierwiastka do rozwiązywania równań typu x^3= -8

  7. korzysta z własności iloczynu przy rozwiązywaniu równań typu 

x(x + 1)(x – 7) = 0; 

  1. rozwiązuje proste równania wymierne, prowadzące do równań liniowych lub kwadratowych,

III. Równania i nierówności. Uczeń 

  1. sprawdza, czy dana liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania lub nierówności; 

  2. wykorzystuje interpretację geometryczną układu równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi; 

  3. rozwiązuje nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą;

  4. rozwiązuje równania kwadratowe z jedną niewiadomą; 

  5. rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą; 

  6. korzysta z własności iloczynu przy rozwiązywaniu równań typu 

x(x + 1)(x – 7) = 0; 

  1. rozwiązuje proste równania wymierne, prowadzące do równań liniowych lub kwadratowych,

IV. Funkcja. Uczeń:

  1. określa funkcje za pomocą wzoru, tabeli, wykresu, opisu słownego; 

  2. oblicza ze wzoru wartość funkcji dla danego argumentu. Posługuje się poznanymi metodami rozwiązywania równań do obliczenia, dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje daną wartość; 

  3. odczytuje z wykresu własności funkcji (dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, maksymalne przedziały, w których funkcja maleje, rośnie, ma stały znak; punkty, w których funkcja przyjmuje w podanym przedziale wartość największą lub najmniejszą); 

  4. na podstawie wykresu funkcji 

y = f(x) szkicuje wykresy funkcji 

y = f(x + a), y = f(x) + a, y = –f(x), 

y = f(–x); 

 

  1. rysuje wykres funkcji liniowej, korzystając z jej wzoru; 

  2. wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o funkcji lub o jej wykresie; 

  3. interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej; 

  4. szkicuje wykres funkcji kwadratowej, korzystając z jej wzoru; 

  5. wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie; 

  6. interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci ogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje);

  7. wyznacza wartość najmniejszą i wartość największą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym; 

  8. wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp. (także osadzonych w kontekście praktycznym); 

  9. szkicuje wykres funkcji f(x) = a/x dla danego a, korzysta ze wzoru i wykresu tej funkcji do interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi; 

  10. szkicuje wykresy funkcji wykładniczych dla różnych podstaw; 

  11. posługuje się funkcjami wykładniczymi do opisu zjawisk fizycznych, chemicznych, a także w zagadnieniach osadzonych w kontekście praktycznym.

IV. Funkcja. Uczeń:

  1. określa funkcje za pomocą wzoru, tabeli, wykresu, opisu słownego; 

  2. oblicza ze wzoru wartość funkcji dla danego argumentu. Posługuje się poznanymi metodami rozwiązywania równań do obliczenia, dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje daną wartość; 

  3. odczytuje z wykresu własności funkcji (dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, maksymalne przedziały, w których funkcja maleje, rośnie, ma stały znak; punkty, w których funkcja przyjmuje w podanym przedziale wartość największą lub najmniejszą); 

  4. na podstawie wykresu funkcji 

y = f(x) szkicuje wykresy funkcji 

y = f(x + a), y = f(x) + a, y = –f(x), 

y = f(–x); 

 

  1. rysuje wykres funkcji liniowej, korzystając z jej wzoru; 

  2. wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o funkcji lub o jej wykresie; 

  3. interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej; 

  4. szkicuje wykres funkcji kwadratowej, korzystając z jej wzoru; 

  5. wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie; 

  6. interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci ogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje);

  7. wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp. (także osadzonych w kontekście praktycznym).

V. Ciągi. Uczeń:

  1. wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym; 

  2. bada, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny; 

  3. stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego; 

  4. stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

V. Ciągi. Uczeń:

  1. wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym; 

  2. bada, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny; 

  3. stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego; 

  4. stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

VI. Trygonometria. Uczeń:

  1. wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od 0° do 180°; 

  2. korzysta z przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych (odczytanych z tablic lub obliczonych za pomocą kalkulatora);

 

  1. oblicza miarę kąta ostrego, dla której funkcja trygonometryczna przyjmuje daną wartość (miarę dokładną albo – korzystając z tablic lub kalkulatora – przybliżoną);

  2. stosuje proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi:

  3.  

  1. znając wartość jednej z funkcji: sinus lub cosinus, wyznacza wartości pozostałych funkcji tego samego kąta ostrego. 

VI. Trygonometria. Uczeń:

  1. wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od 0° do 180°; 

  2. oblicza miarę kąta ostrego, dla której funkcja trygonometryczna przyjmuje daną wartość (miarę dokładną); 

  3. stosuje proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi:

 

 

  1. znając wartość jednej z funkcji: sinus lub cosinus, wyznacza wartości pozostałych funkcji tego samego kąta ostrego. 

 

 

VII. Planimetria: Uczeń

  1. stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym; 

  2. korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów stycznych; 

  3. rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych) cechy podobieństwa trójkątów; 

  4. korzysta z własności funkcji trygonometrycznych w łatwych obliczeniach geometrycznych, w tym ze wzoru na pole trójkąta ostrokątnego o danych dwóch bokach i kącie między nimi.

VII. Planimetria. Uczeń:

  1. stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym; 

  2. korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów stycznych; 

  3. rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych) cechy podobieństwa trójkątów; 

  4. korzysta z własności funkcji trygonometrycznych w łatwych obliczeniach geometrycznych, w tym ze wzoru na pole trójkąta ostrokątnego o danych dwóch bokach i kącie między nimi.

VIII. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Uczeń:

  1. wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty (w postaci kierunkowej lub ogólnej); 

  2. bada równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych; 

  3. wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany punkt; 

  4. oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych; 

  5. wyznacza współrzędne środka odcinka; 

  6. oblicza odległość dwóch punktów;

  7. znajduje obrazy niektórych figur geometrycznych (punktu, prostej, odcinka, okręgu, trójkąta itp.) w symetrii osiowej względem osi układu współrzędnych i symetrii środkowej względem początku układu

VIII. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Uczeń:

  1. wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty (w postaci kierunkowej lub ogólnej); 

  2. bada równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych; 

  3. wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany punkt; 

  4. oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych; 

  5. wyznacza współrzędne środka odcinka; 

  6. oblicza odległość dwóch punktów;

  7. znajduje obrazy niektórych figur geometrycznych (punktu, prostej, odcinka, okręgu, trójkąta itp.) w symetrii osiowej względem osi układu współrzędnych i symetrii środkowej względem początku układu

IX. Stereometria. Uczeń:

  1. rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi, itp.), oblicza miary tych kątów;

  2. rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąt między odcinkami i płaszczyznami (między krawędziami i ścianami, przekątnymi i ścianami), oblicza miary tych kątów; 

  3. rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów; 

  4. rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między ścianami;

  5. określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną; 

  6. stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości.

IX. Stereometria. Uczeń:

  1. rozpoznaje w graniastosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi, itp.), oblicza miary tych kątów; 

  2. rozpoznaje w graniastosłupach kąt między odcinkami i płaszczyznami (między krawędziami i ścianami, przekątnymi i ścianami), oblicza miary tych kątów; 

  3. stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości graniastosłupów. 

X. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Uczeń:

  1. oblicza średnią ważoną i odchylenie standardowe zestawu danych (także w przypadku danych odpowiednio pogrupowanych), interpretuje te parametry dla danych empirycznych; 

  2. zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych, niewymagających użycia wzorów kombinatorycznych, stosuje regułę mnożenia i regułę dodawania; 

  3. oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa.

X. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Uczeń:

  1. zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych, niewymagających użycia wzorów kombinatorycznych, stosuje regułę mnożenia i regułę dodawania; 

  2. oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa.

Matura 2020 z matematyki

POZIOM ROZSZERZONY

Matura 2021 z matematyki

POZIOM ROZSZERZONY

  1. Liczby rzeczywiste. Uczeń:

spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto: 

  1. wykorzystuje pojęcie wartości bezwzględnej i jej interpretację geometryczną, zaznacza na osi liczbowej zbiory opisane za pomocą równań i nierówności typu: 

|x – a| = b, |x – a| < b, |x – a| ≥ b, 

  1. stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.

  1. Liczby rzeczywiste. Uczeń:

spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto: 

  1. wykorzystuje pojęcie wartości bezwzględnej i jej interpretację geometryczną, zaznacza na osi liczbowej zbiory opisane za pomocą równań i nierówności typu: 

|x – a| = b, |x – a| < b, |x – a| ≥ b, 

 

  1. stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.

II. Wyrażenia algebraiczne. Uczeń:

spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto: 

 

  1. używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b)^3 oraz a^3 ± b^3 ;  

  2. dzieli wielomiany przez dwumian    ax + b; 

  3. rozkłada wielomian na czynniki, stosując wzory skróconego mnożenia lub wyłączając wspólny czynnik przed nawias; 

  4. dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany; 

  5. wyznacza dziedzinę prostego wyrażenia wymiernego z jedną zmienną, w którym w mianowniku występują tylko wyrażenia dające się łatwo sprowadzić do iloczynu wielomianów liniowych i kwadratowych;

  6. dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli wyrażenia wymierne; rozszerza i (w łatwych przykładach) skraca wyrażenia wymierne

II. Wyrażenia algebraiczne. Uczeń:

spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto: 

 

  1. używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b)^3 oraz a^3 ± b^3 ;  

  2. dzieli wielomiany przez dwumian    ax + b; 

  3. rozkłada wielomian na czynniki, stosując wzory skróconego mnożenia lub wyłączając wspólny czynnik przed nawias; 

  4. dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany; 

  5. wyznacza dziedzinę prostego wyrażenia wymiernego z jedną zmienną, w którym w mianowniku występują tylko wyrażenia dające się łatwo sprowadzić do iloczynu wielomianów liniowych i kwadratowych;

  6. dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli wyrażenia wymierne; rozszerza i (w łatwych przykładach) skraca wyrażenia wymierne

III. Równania i nierówności. Uczeń:
spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto: 

 

  1. stosuje wzory Viète’a; 

  2. rozwiązuje równania i nierówności liniowe i kwadratowe z parametrem;

  3. rozwiązuje układy równań, prowadzące do równań kwadratowych; 

  4. stosuje twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian x – a; 

  5. stosuje twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych; 

  6. rozwiązuje równania wielomianowe da ją ce się łatwo sprowadzić do równań kwadratowych; 

  7. rozwiązuje łatwe nierówności wielomianowe; 

  8.  

  1. rozwiązuje proste nierówności wymierne typu:

 

  1. rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną, o poziomie trudności nie wyższym, niż: 

||x + 1|– 2|= 3, |x + 3|+|x – 5|>12

III. Równania i nierówności. Uczeń:
spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto: 

 

  1. stosuje wzory Viète’a; 

  2. rozwiązuje równania i nierówności liniowe i kwadratowe z parametrem;

  3. rozwiązuje układy równań, prowadzące do równań kwadratowych

  4. stosuje twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian x – a; 

  5. stosuje twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych; 

  6. rozwiązuje łatwe nierówności wielomianowe; 

  7. rozwiązuje proste nierówności wymierne typu:

 

  1. rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną, o poziomie trudności nie wyższym, niż: 

||x + 1|– 2|= 3, |x + 3|+|x – 5|>12

IV. Funkcje. Uczeń:
spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto: 

 

  1.  na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = |f(x)|, y = c · f(x), y = f(cx); 

  2. szkicuje wykresy funkcji logarytmicznych dla różnych podstaw; 

  3. posługuje się funkcjami logarytmicznymi do opisu zjawisk fizycznych, chemicznych, a także w zagadnieniach osadzonych w kon tek ście praktycznym; 

  4. szkicuje wykres funkcji określonej w różnych przedziałach różnymi wzorami; odczytuje własności takiej funkcji z wykresu.

IV. Funkcje. Uczeń:
spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto: 

 

  1. na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = |f(x)|, y = c · f(x), y = f(cx);

  1. szkicuje wykres funkcji określonej w różnych przedziałach różnymi wzorami; odczytuje własności takiej funkcji z wykresu.

V. Ciągi. Uczeń:

spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto: 

  1. wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem rekurencyjnym; 

  2. oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu 1/n, 1/n2 oraz z twierdzeń o działaniach na granicach ciągów; 

  3. rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne i oblicza ich sumy. 

V. Ciągi. Uczeń:

spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto: 

 

  1. oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu 1/n, 1/n2 oraz z twierdzeń o działaniach na granicach ciągów; 

  2. rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne i oblicza ich sumy.

VI. Trygonometria. Uczeń:

spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto: 

  1. stosuje miarę łukową, zamienia miarę łukową kąta na stopniową i odwrotnie;

  2. wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens dowolnego kąta o mierze wyrażonej w stopniach lub radianach (przez sprowadzenie do przypadku kąta ostrego); 

  3. wykorzystuje okresowość funkcji try go no me trycz nych; 

  4. posługuje się wykresami funkcji try go no metrycznych (np. gdy rozwiązuje nierówności typu 

sin x > a, cos x ≤ a, tg x > a);

  1. stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów; 

  2. rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne typu sin 2x = ½, sin 2x + cosx = 1, sinx + cosx =1, cos 2x < ½.

VI. Trygonometria. Uczeń:

spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto: 

  1. stosuje miarę łukową, zamienia miarę łukową kąta na stopniową i odwrotnie;

  2. wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens dowolnego kąta o mierze wyrażonej w stopniach lub radianach (przez sprowadzenie do przypadku kąta ostrego); 

  3. wykorzystuje okresowość funkcji try go no me trycz nych; 

  4. posługuje się wykresami funkcji try go no metrycznych (np. gdy rozwiązuje nierówności typu 

sin x > a, cos x ≤ a, tg x > a);

  1. stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów; 

  2. rozwiązuje równania trygonometryczne typu sin 2x = ½, sin 2x + cosx = 1, sinx + cosx =1, cos 2x < ½.

VII. Planimetria. Uczeń:

spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:  

  1. stosuje twierdzenia charakteryzujące czworokąty wpisane w okrąg i czworokąty opisane na okręgu; 

  2. stosuje twierdzenie Talesa i twierdzenie od wrot ne do twierdzenia Talesa do obliczania długości odcinków i ustalania równoległości prostych; 

  3. znajduje obrazy niektórych figur geometryczych w jednokładności (odcinka, trójkąta, czworokąta itp.); 

  4. rozpoznaje figury podobne i jednokładne; wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych) ich własności;

  5. znajduje związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów.

VII. Planimetria. Uczeń:

spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto: 

  1. stosuje twierdzenia charakteryzujące czworokąty wpisane w okrąg i czworokąty opisane na okręgu; 

  2. stosuje twierdzenie Talesa i twierdzenie od wrot ne do twierdzenia Talesa do obliczania długości odcinków i ustalania równoległości prostych; 

  3. rozpoznaje figury podobne i jednokładne; wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych) ich własności;

  4. znajduje związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów.

VIII. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Uczeń: spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto: 

  1. interpretuje graficznie nierówność li iową z dwiema niewiadomymi oraz układy takich nierówności; 

  2. bada równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań ogólnych; 

  3. wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej danej w postaci ogólnej i przechodzi przez dany punkt; 

  4. oblicza odległość punktu od prostej;

  5. posługuje się równaniem okręgu (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 oraz opisuje koła za pomocą nierówności; 

  1. wyznacza punkty wspólne prostej i okręgu; 

  2. oblicza współrzędne oraz długość wektora; dodaje i odejmuje wektory oraz mnoży je przez liczbę. Interpretuje geometrycznie działania na wektorach; 

  3. stosuje wektory do opisu przesunięcia wykresu funkcji.

VIII. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Uczeń: spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto: 

  1. oblicza odległość punktu od prostej;

  2. posługuje się równaniem okręgu 

(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 oraz opisuje koła za pomocą nierówności; 

  1. wyznacza punkty wspólne prostej i okręgu; 

  2. oblicza współrzędne oraz długość wektora; dodaje i odejmuje wektory oraz mnoży je przez liczbę. Interpretuje geometrycznie działania na wektorach; 

  3. stosuje wektory do opisu przesunięcia wykresu funkcji.

IX. Stereometria. Uczeń:

spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto: 

 

  1. określa, jaką figurą jest dany przekrój sfery płaszczyzną;

  2. określa, jaką figurą jest dany przekrój graniastosłupa lub ostrosłupa płaszczyzną.

IX. Stereometria. Uczeń:

spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto: 

 

  1. określa, jaką figurą jest dany przekrój graniastosłupa płaszczyzną.

X. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Uczeń:

spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto: 

  1. wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji i wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych; 

  2. oblicza prawdopodobieństwo warunkowe; 

  3. korzysta z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym

X. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Uczeń:

spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto: 

  1. wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji i wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych; 

  2. oblicza prawdopodobieństwo warunkowe; 

  3. korzysta z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym

XI. Rachunek różniczkowy. Uczeń:

  1. oblicza granice funkcji (i granice jednostronne), korzystając z twierdzeń o działaniach na granicach i z własności funkcji ciągłych; 

  2. oblicza pochodne funkcji wymiernych; 

  3. korzysta z geometrycznej i fizycznej interpretacji pochodnej; 

  4. korzysta z własności pochodnej do wyznaczenia przedziałów monotoniczności funkcji; 

  5. znajduje ekstrema funkcji wielomianowych i wymiernych; 

  6. stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.

XI. Rachunek różniczkowy. Uczeń:

  1. oblicza granice funkcji (i granice jednostronne), korzystając z twierdzeń o działaniach na granicach i z własności funkcji ciągłych; 

  2. oblicza pochodne funkcji wymiernych; 

  3. korzysta z geometrycznej i fizycznej interpretacji pochodnej; 

  4. korzysta z własności pochodnej do wyznaczenia przedziałów monotoniczności funkcji; 

  5. znajduje ekstrema funkcji wielomianowych i wymiernych; 

  6. stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.

 

Dodaj Komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *